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张齐华“一咏三叹且行且思”

发布日期：2008-4-26 15:31:30 作者：张齐华出处：张齐华浏览：519 人次

屏幕上这个三角形虽不是轴对称图形，但有些特殊的三角形却是的。

师：是吗？你觉得哪些三角形是轴对称图形？

生15：比如等腰三角形和等边三角形。

（教师给出这两种三角形，引导学生上台操作，说明它们都是轴对称图形。）

师：能从平行四边形自觉联想到三角形，这是多么有益的一种学习方法啊！

生16：我想说这个正五边形。通过对折，我发现它是一个轴对称图形，但如果它不是正五边形，那它就不是了。（其余同学频频点头。）

（正在这时，笔者发现有位学生画了这么一个五边形：　，教师顺势拿起这个图形，放在实物展台上。）

师：瞧，这位同学画了这样一个五边形，想像一下，它是轴对称图形吗？（是！）看来，除了正五边形外，有些特殊的五边形同样也是轴对称图形。

生17：我认为圆是一个轴对称图形，因为把它对折后两边能完全重合。而且圆的直径就是它的对称轴。

师：能和圆的其它知识联系起来进行思考，真不错。不过，准确地说，直径所在的直线才是圆的对称轴，你们说是吗？（是。）

生18：我还想补充，不管什么圆，它都是轴对称图形。

师：你的补充很有见地。讨论平行四边形、梯形、三角形时，我们既要考虑一般的情况，又要考虑特殊的情形。但圆就不同，所有的圆都是轴对称图形，不存在什么特殊的情况。看来，数学学习中，具体的问题还真得具体对待。你的补充让我们的思考又向前迈进了一步！（全班学生报以热烈掌声。）

[思考]回顾这一教学片断，没有了多彩的画面、绚丽的音乐，没有了历史的厚重、现实的丰富。然而，正是透过朴实无华的教学实录本身，我们发现，短短的教学时空里，学生不仅对“五个平面图形中哪些是轴对称图形，哪些不是”这一问题获得了清晰、深刻的认识，更由此引申开去，在对话和思辩中获得了对一般和特殊的辩证思考，对直觉猜测与实践验证复杂统一性的深刻体会，对思维全面性和深刻性的丰富体验等。特定的时空里，学生的思维始终处于积极活跃的状态，他们尽享因数学思考而带给他们的思维的确定性、变通性、灵活性、辩证性。数学的真理感、数学思考的内在美、数学丰富的思维方式等，正是在这样一种润物无声的对话和思辩过程中悄悄滋润着学生心灵，化作学生思考的力量源泉。

清楚地记得，当执教完“走进圆的世界”一课后，有人提出，“虽然这节课的文化味体现得很充分，但普通的数学课，比如计算，比如应用题，再比如一般的概念教学，如何体现数学的文化特性？”那一刻，我无以答复。如今想来，当时的无言以对，背后折射出的恰恰是自己对数学文化片面、狭隘的理解。

的确，文化不是外在附属品。数学文化也不是简单意义上的“数学＋文化”。在关注数学历史性和数学美的同时，我们更应该对数学文化有一种更为家常的朴素理解：文化者，以文化人也，数学真正的文化要义在于，它可以最大限度地张扬数学思考的魅力，并改变一个人思考的方式、方法、视角。数学学习一旦使学生感受到了思维的乐趣，使学生领悟了数学知识的丰富、数学方法的精巧、数学思想的博大、数学思考的美妙，那么，数学的文化价值必显露无遗。从这一意义上讲，数学文化又怎会仅属于“圆”和“轴对称图形”？任何数学课堂，我们可以触摸到数学文化的脉搏，因为，拥有思考，便拥有了数学的文化力量。
“柳暗花明”

——“因数和倍数”一课及其它

正所谓“有心栽花花不开，无心插柳柳成荫”。“轴对称图形”一课中，恰恰在自己最不在意的一个环节里，绽放出了数学文化最为本真的一面，也让自己对数学文化的理解和思考有了一个新的飞跃。为了使新的思考转化为现实的课堂实践，2005年春，我又开始了新的关于数学文化的探索。

这次选择的是一节普通的数学概念课——“因数和倍数”，没有图形的直观和具象，也没有丰富、直接的现实背景作支撑。一切从朴素中开始。限于篇幅，此处只呈现当时的教学预案。

[案例3]《因数和倍数》预案及思考

活动1：巧用模型，建构意义

教师出示12个完全相同的小正方形，引导学生在头脑中将它们摆成一个长方形，并试着用乘法算式将相应的摆法有序地表示出来。在此基础上，师生共同建构因数和倍数的意义。

在此基础上，结合具体内容，引导学生感受因数和倍数的相互依存性和辩证关系，发展学生的数学思考。

活动2：自主探究，提升思考

明确概念内涵后，教师引导学生自主研究“36的因数”和“3的倍数”。考虑到学生在认知背景、思维品质及思维方式上的差异，学生中势必会出现不一样的思考过程和结果：或者全面、或者片面；或者有序，或者无序；或者肤浅、或者深刻。此时，教师应该引导学生将自己的数学思考展示出来，在师生之间多维的对话、思辩、质疑、争论的过程中，彼此取长补短，相互吸纳。片面的思考趋于全面，无序的思维走向有序，肤浅的认识归于深刻。思维品质在沟通中获得提升，思维方式在比照中得以修正，思维能力在对话中得到发展。

活动3：激化冲突，活化思维

引导学生分别思考：在1－10这些自然数中，哪些数一定是20、　4和

这些两位数的因数。

开放而充满智力挑战的问题情境，学生在认知冲突中展开思维，寻求结论，并在思维和对话中使自身的认识从粗放走向细腻和深刻，相应的数学知识也在交流中得以有效渗透。

活动4：探寻规律，感受奥秘

教师引导学生利用9颗珠子，在计数器上分别拨出不同的两位数。并引导他们观察并思考，这些数和9之间有没有什么特殊的联系？可以想见，当学生们最终发现，9颗珠子拨出的两位数竟然都是9的倍数时，心头涌起的惊讶是何等强烈而真切。在此基础上，再自然引导学生展开联想、猜测：8颗、7颗、6颗……珠子拨出的两位数，会不会也是8、7、6……的倍数。由此，开放而充满召唤的问题情境，丰富而多变的数学规律，使原本枯燥、乏味的数字绽放神奇的力量。

活动5：内部拓展，彰显魅力

先引导学生猜一猜100以内的自然数中谁的因数最多。当最终的结果“60”出人意料地展现在学生面前时，教师再适时介绍《数字王国——世界共通的语言》一书中关于“时分秒进率为60”的原因的描述，并进一步拓展到“1日＝24时”“1年＝12月”中24、12的来由。既激发学生的探究兴趣，引领学生感受数字在人类历史发展进程中的神奇作用，更激活学生的辩证思考，体会数的大小与因数多少之间的复杂关系，获得对于因数更为立体、更加深刻的理解。

接着，再引领学生走进和因数有着密切关联的另一特殊数学现象：“完美数”，在认一认、找一找、比一比的过程中，引导学生感受完美数的美妙结构，体会数学家对于完美数的无穷探究兴趣（前100亿个自然数中，只找到6个完美数，需要数学家们付出怎样的执着和艰辛），间接体验数学的内在魅力，以及数学家孜孜以求、不断超越的数学探索精神。

活动6：沟通联系，丰富内涵

从两千多年前古希腊人最初从因数、倍数角度研究音乐，到希腊建筑中大量倍数关系的存在与其雄伟、牢固、美观之间的内在联系，使因数和倍数超越一般的数学概念，获得一种美学意义上的气息。在此基础上，再从“数论”的角度重新关照“因数和倍数”，使新的知识在深度和高度上获得提升。

很难说这

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