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“三角形内角和”案例描述与反思

发布日期：2008-5-14 14:18:23 作者：位惠女出处：位惠女浏览：1907 人次

感动心灵的研究
——“三角形内角和”案例描述与反思
位惠女
这是我上的一节研究课。这节课过去很久了，但每当我静下心来，总是能感受到学生思考的气息，感受到学生的思维给课堂带来的挑战与生机。
对于三角形内角和是多少度，学生是不陌生的，因为学生有前面认识角的基础和提前预习的习惯。在了解学生学习情况的基础上，我的教学思路是：交流——验证——问题——结论。
果然不出我所料，几乎所有的学生都能清楚地说出三角形三个内角的和是180°。在交流过程中，学生知道了内角这个概念，但是他们却不知道怎样得出三角形的内角和是180°。于是，我提出研究的问题：验证三角形的内角和是180°。
在学生研究前，我们简单交流了验证的方法以及合作学习的要求。这个过程主要是给学生提供研究的方法和合作时需要注意的规则，每个小组可以选择一种或者几种方法进行验证。
在每个小组的成员进行交流分工后，大家开始研究了。一个个俨然是个小科学家，积极主动，非常投入。课堂中少了一些喧闹，多了一些沉静和思考，偶尔会有一两个同学的辩论声。在这轻声的辩论中，学生的思维在不断地进行碰撞。
在学生小组合作学习的时候，我轻轻地走进他们中间，寻找需要帮助的小组和需要解决的问题。我发现大部分小组能在组长的带领下进行有效的小组学习和交流，只有一个小组，由于组长不停地指责组员做得不好，组员在组长的埋怨声中不知所措。我加入这个小组后，先帮助他们确定验证的方法，给每个人分工，最后和他们一起用测量的方法进行验证。
下面我们一起分享来自学生的精彩。

画一个更小的三角形
一个小组用“量”的方法来验证。他们的测量结果如下：

这个小组根据测量结果得出了一个结论：大三角形内角和比180°大，小三角形内角和比180°小。这个小组的意见还有一个小组赞成。
话音未落，周启航站起来说：“这个结论还需要验证，再画一个更小的三角形试一试。”他边说边走到黑板前画了一个很小的锐角三角形，大家屏住呼吸看着他测量，最后测量的结果是184°。“结论被推翻了。”于是，周启航得意洋洋地回到了座位。
“ 周启航，请问你为什么说结论被推翻了呢？”
“ 我觉得这个结论只要举出一个反例，就可以知道它是不对的，就可以推翻。”
大家点头表示同意。这种数学学习思路很重要，我及时和学生讨论，让他们体会在验证某一结论是否正确的时候，一个正例不足以证明一个结论是正确的，但是一个反例就可以推翻一个结论。
我追问学生还有没有别的问题，学生摇头。看来他们还没有意识到这是误差造成的原因，也没有提出三角形的内角和到底是多少度的问题。也就是说，这个小组的测量结果，对学生头脑中原有的三角形内角和是180°的印象没有造成任何的冲突。我想，这个问题先放一下，我期望随着研究的深入他们会自然地意识到。因为教师需要给学生的思维提供一个发展的空间。

我怎么折不成呢
接下来，我们一起研究“了折”的方法。一个小组在实物展台上用等边三角形进行对折，折出三角形三个内角在一条直线上，验证了三角形的内角和是180°。针对这个小组的交流，我提出了能不能用这种对折的方法验证所有三角形的内角和都是180°呢？大家开始用自己手中的三角形进行操作，教室里除了折纸的声音，非常安静。突然，刘青小声嘀咕了一句：“我怎么折不成呢，对折后它们每两个角之间都有缝隙。”她的这句话引起了大家的共鸣，很多同学点头表示同意。
我在试教的过程中就遇到过这个问题。这个问题很难处理，因此很多老师建议我省掉这个环节，或者是在前面做一个示范就可以了，不要让学生动手折，这样就不会出现问题了。我想这是学生学习和研究的好机会，老师不能为了上课而上课，回避学生容易出现的问题。于是，我保留这个环节。
对我来说，出现问题的原因很清楚。如果学生不能准确地找到三角形的中位线，就会很容易出现上面的问题。对于学生来说，找中位线不是一件容易的事情，因为学生对中位线的概念没有准确的认识。针对学生的这个特点，我不用语言讲解，而是结合教材中的折法，利用多媒体课件进行直观演示。学生在用心观察、用心体悟的基础上动手操作，结果一个个陆续成功了。

书上的结论是错的
当交流“撕”的方法时，学生在撕和拼的过程中，每两个角之间总是有空隙，这个问题引起了大家的争论。于是我们又回过头来看前面“量”和“折”的方法，也是有误差的。这时候，班若愚提出了疑问：“我们用三种方法验证出‘三角形内角和是180°’是不太准确的，我觉得书上的结论是错的。”

这个结论给学生带来了很大的震撼。虽然他们能理解误差是不可避免地存在的，但是很难正视这个问题。所以他们对教科书上的结论产生了怀疑，这是非常具有挑战性的。
在大家进一步观察交流的基础上，我们获得一个结论：三角形三个内角和在180°左右。学生的思路在不断地深化，他们不唯“书”是从的精神令我感动，但怎样把学生的思维引向深入呢？我思索着……

一张长方形纸的启示
当学生思维停滞的时候，教师的作用就是给一个台阶，让他们接着走下去。
我手拿一张长方形纸，提醒学生“：一个直角是90°，这个长方形有4个直角，那么它的内角和是360°。这个长方形纸可以折成两个大小一样的直角三角形，从中可以知道什么？”
片刻后，学生欢呼，立刻悟出可以通过计算推导出直角三角形的内角和是180°。这个发现令学生兴奋。紧接着，我又抛出了一个具有挑战性的问题：“能利用直角三角形的内角和是180°这个结论，得出钝角三角形和锐角三角形的内角和也是180°吗？”只有这样才能验证所有的三角形的内角和是180°。
这个过程对学生来说是比较艰难的，对学生的思维要求很高，对我来说也是一种挑战，我已经放弃了预先设计的让他们做一些基本练习的想法，而是放手让他们进一步探索。

放手后的精彩
5分钟后，学生居然探索出来了，虽然只是个别学生，但我还是很兴奋。
李佳辉说：“我们可以沿锐角三角形的一个顶点向对边作高。这样就把一个锐角三角形变成了两个直角三角形，多了四个角，其中两个是直角，两个是锐角，两个锐角其实就是原来的那个内角，这样就等于多了两个直角，所以这个锐角三角形的内角和就是：180°+180°- 90°- 90°=180°。”
当李佳辉在展台前边算边讲的时候，学生们不断地点头表示理解，全班同学恍然大悟。
“ 老师，我们知道了，钝角三角形也可以这样计算。”
“ 验证所有三角形的内角和是180°，只要验证三类三角形的内角和就行了。”
“ 老师，书上的结论是对的。”
“ 老师，不知道还有没有其他的方法。”
“ 老师，四边形的内角和是多少度？”
……
在学生的欢呼声中，我明白学生真的懂了，不需要我再说什么了。听着学生提出的问题，看着他们把问题存在“ 问题银行”里，我满脸洋溢着快乐和幸福。我想，他们收获的不仅仅是一个结论，更重要的是一种数学思想和方法，是对数学的热爱。

最想倾诉的几个问题
1.在学生小组合作学习的时候，老师应该干什么？
我们经常会看到，学生小组合作学习时，老师会边走边不停地提示学生应该干什么、怎么干。其实，这个时候老师的提示对学生而言往往是没有任何价值的，不仅影响学生的思路，还会干扰学生的思维。我想，这个时候教师应该做的是快速浏览每个小

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